エウクレイデス（Euclid, ユークリッドとも表記）は、前3世紀ごろのアレクサンドリアで活躍した数学者で、『原論（Elements）』を著して古典幾何学の骨格を体系化した人物として知られます。彼の生涯についての確かな一次情報はほとんど残っていませんが、『原論』が示した方法——定義・公理（共通概念）・要請（公準）を置き、そこから定理を論証で積み上げる——は、2000年以上にわたって数学的思考の標準となりました。ユークリッド幾何学という言葉が示すように、彼の枠組みは「空間」「証明」「論理」の基本形を与え、地図作成から建築、天文学、近代科学の教科書、さらには哲学や神学の書き方にまで深い影響を与えました。『原論』は13巻（のち付加の14・15巻を含む版もあり）からなり、平面幾何・比と比例・数論・無理量・立体幾何を横断的に展開します。いま私たちが高校で学ぶ三角形の合同条件、ピタゴラスの定理、素数は無限にあるという事実、最大公約数を求める“ユークリッドの互除法”などの基礎は、ほぼこの書物に由来します。彼の方法は、その後ヒルベルトによる公理化や非ユークリッド幾何の出現を経ても、なお「厳密に考える」とはどういうことかを教えてくれる最良の手本であり続けています。
生涯と背景：アレクサンドリア学派の文脈
エウクレイデスの個人史は謎に包まれています。古代の注釈家プロクロスやパップスが断片的に伝えるところでは、彼はプトレマイオス一世の時代（前4世紀末〜前3世紀初頭）のアレクサンドリアで教鞭をとり、幾何学者たちの学派を率いたとされます。生地についてはアテナイやメガラの説もありますが確証はありません。同名の哲学者「メガラ派のエウクレイデス」とは別人で、混同しないことが大切です。ヘレニズム期のアレクサンドリアは、ムセイオン（研究所）と大図書館を擁し、観測天文学・地理・力学・医学が横断的に発展した知の拠点でした。エウクレイデスは、この学術的インフラの上で、先行するギリシア数学（ユー多クソスの割合論、テアイテトスの無理量論、ヒッパソスやピタゴラス派の成果、アポロニオス・アルキメデスに連なる幾何の潮流）を整理・統合する編集者かつ教育者としての資質を発揮しました。
彼にまつわる逸話は、数は少ないながら示唆的です。王が幾何を早道で学べないかと問うと、エウクレイデスは「幾何への王道はありません（There is no royal road to geometry）」と答えたと伝えられます。これは、定義と公理から一歩ずつ論証を積み上げる以外に確実な理解の道がないことを象徴します。また、彼の教えは応用を軽視したのではなく、むしろ測量・建築・天文学の課題を背後に持ちながら、抽象化によって普遍性を獲得した点に特徴がありました。
『原論』の構成と方法：定義・公理・要請からの演繹
『原論』は、数学史上もっとも成功した教科書の一つです。構成は、まず基本語の定義（点・線・面・角・円・平行など）、次に全ての領域に共通する「共通概念（公理）」、幾何に特有の「要請（公準）」を掲げ、その後に命題（定理・作図問題）と証明が続きます。共通概念には「同じものに等しいものは互いに等しい」「等しいものに等しいものを加えれば等しい」「等しいものから等しいものを引けば等しい」「一致するものは等しい」「全体は部分より大きい」といった、直観的で操作的な原理が並びます。要請は5つが有名で、とりわけ第5要請（平行公準）が歴史的意義を持ちます。
第1巻はユークリッド幾何の入口で、作図と三角形の基礎が扱われます。コンパスと直線定規だけで任意の等辺・角を作る方法、三角形の合同（SSS・SAS・ASA）と底角定理、外角の性質、そして第47命題（ピタゴラスの定理）と第48命題（その逆）が頂点に置かれます。第2巻は図形と代数の橋渡しで、長さ・面積・和差積に関する恒等関係を幾何図形で表現します。第3巻は円と接線・弦・角の理論、第4巻は正多角形の作図が中心です。
第5巻はユー多クソスの割合論を継承し、連続量（長さ・面積・体積）の比を、整数比に還元できない一般性で扱う抽象的理論を展開します。この枠組みにより、互いに通約できない量（すなわち無理量）を矛盾なく比較できます。第6巻は第5巻の比の理論を平面図形に適用し、相似・比例の体系を完成させます。
第7〜第9巻は整数論（数論）です。第7巻では最小公倍数・最大公約数、第8巻では等比数列、第9巻では素数の無限性の証明が現れます。最大公約数に関する手続きは、今日「ユークリッドの互除法」と呼ばれ、2つの整数 a, b（a＞b）に対し、a を b で割った余り r に対して gcd(a,b)=gcd(b,r) と繰り返すアルゴリズムです。単純に見えて極めて効率が高く、現代の暗号・計算機科学の基礎でも現役の技法です。素数が無限に存在することの証明は、仮に素数が有限個 p1,…,pn だけだとすると、その積に1を足した N=p1…pn+1 がいずれの素数でも割れない矛盾に至るという有名な背理法です。
第10巻は無理量の体系的研究で、通約可能・不通約の分類（ピタゴラス派の難題を継承）を洗練させます。第11〜第13巻は立体幾何で、平行・垂直・角度の立体的拡張、体積比、そして第13巻の終盤では五つの正多面体（正四・六・八・十二・二十面体）の構成と比率が記述されます。これらは古代の宇宙観・プラトン哲学と結びつき、知的象徴として長く愛好されました。後代の版では、ヒュプシクレスや他の編者による14・15巻が付加され、多面体のさらなる性質が扱われますが、真にエウクレイデスの手になるのは13巻までと見るのが一般的です。
『原論』の方法上の革新は、①図形の視覚補助を用いつつも、②“この図形だけが正しい”とは言わず、一般性を保った論証（汎用図）を与え、③背理法・補助線・合同・相似といった道具で確からしさを高めた点にあります。命題は相互依存してネットワークを成し、前の命題が次の命題の足場となる構造（レイヤー構造）が、学習と発見の双方に適しています。後世、ヒルベルトは『幾何学の基礎』（1899）で語の未定義・独立性・無矛盾性を厳密化しますが、その思想的出発点はエウクレイデスの設計図にあります。
平行公準と非ユークリッド幾何：エウクレイデスを越えて
『原論』の第5要請（平行公準）は、「一直線と平面上の一点が与えられたとき、その点を通ってその直線に平行な直線はただ1本である」と同値の内容を含みます（原文は角の和に基づく言い回し）。この公準は他の要請に比べて複雑で、古代以来、多くの数学者がそれを他の公理から証明しようと試みました。しかし19世紀、ガウス、ロバチェフスキー、ボヤイ、のちにリーマンらが示したのは、平行公準を否定しても他の公理と矛盾しない幾何が自立しうることでした。すなわち、平行線が無限本通る双曲幾何や、平行が一本もない楕円幾何が、一貫した理論として構成できるのです。
この発見は「エウクレイデスの敗北」ではなく、むしろ彼の方法（公理を明示し、そこから演繹する）を徹底した結果の拡張でした。ユークリッド幾何は、地表の局所や日常の工学に非常に良い近似を与える「特別な場合」であり、重力や宇宙の大域ではリーマン幾何が適切だとする一般相対性理論の視点とも調和します。すなわち、エウクレイデスは“唯一絶対の空間”を与えたのではなく、“空間を論じる言語”を与え、のちの多様な空間理論の基準点となったのです。
受容と影響：アラビア語訳・中世ラテン・活版印刷・近代科学
『原論』は、古典期の終わりとともにギリシア語圏を越えて旅をします。9世紀、バグダードの知恵の館でアル＝ハッジャージュらがアラビア語訳を行い、数学・天文学の教育テキストとして広く用いられました。12〜13世紀にはトレドなどでラテン語訳（キャンパヌス版など）が作られ、スコラ学と大学制度の中核教材になります。1482年、ヴェネツィアの印刷業者ラートルトは初の図版入り印刷版『原論』を刊行し、図と証明の結合が大量流通を得る転機となりました。以後、16〜18世紀のヨーロッパでは、デカルトの解析幾何、ニュートンの『プリンキピア』の演繹スタイル、スピノザ『エチカ』の“幾何学的秩序による証明”など、知の書き方そのものが『原論』の影響を受けます。
近代になると、幾何の基礎づけを厳密化する潮流が強まり、ヒルベルトの公理系、ピアノ算術、フレーゲ・ラッセル・ホワイトヘッドの数理論理が登場します。そこでもエウクレイデスは「最初のモデル」として参照され、なぜ定義と公理の明示が不可欠か、どの公理が独立か、図に頼る直観はどこまで許されるかという問いが洗練されました。教育の現場でも、19世紀の英仏独では『原論』が中等教育の標準教科書として長く君臨し、20世紀後半の「新数学運動」でも、証明の言語としての役割は保たれました。
用語整理と学び方：どこに価値があるか
エウクレイデスを世界史の文脈で学ぶポイントは三つあります。第一に、方法論の革命です。彼は正しい結論を提示しただけではなく、「正しさの作り方」を制度化しました。定義—公理—定理—証明の流れは、自然科学・哲学・法学にまで波及し、批判的思考の型を提供しました。第二に、知の編集としての『原論』です。エウクレイデスは“発見者”であると同時に“編集者”で、先人の成果を厳密に並べ直し、教育に耐える秩序を与えました。第三に、受容の連鎖です。アラビア語圏での保存と発展、ラテン世界への再導入、活版印刷による普及、近代公理論による再定義——これらの橋渡しがなければ、『原論』は今日の影響力を持ち得ませんでした。
学習のコツとしては、①第1巻の冒頭（定義・公理・要請）と三角形・ピタゴラスの章を自分の手で図を描いて辿る、②第7・9巻の数論（互除法と素数無限性）を実際の数で追試する、③第5・6巻の比例論と相似を現代的記号（比例式・写像）で言い換えて理解する、の三点をおすすめします。平行公準については、プレイフェアの公理（1点から引ける平行はただ1本）と双曲面上のモデル（ポアンカレ円板モデルなど）を対比すると、なぜ“公理は選べる”のかが腑に落ちます。
最後に、エウクレイデスの名はしばしば「古くて硬い幾何」と結びつけられますが、彼の真価は柔軟性にあります。限られた前提から最大限の一般性を引き出す、最小の道具で最大の構造を作る、その設計思想は、現代のデータ構造やアルゴリズム、証明支援系、形式検証にも通底します。『原論』を読むことは、古典を暗記することではなく、“思考をどう設計するか”を学ぶことなのです。
